Ekonometria

8.Modele wielorównaniowe: klasyfikacja, postać strukturalna i zredukowana, identyfikowalność, estymacja.

Klasyfikacja modeli wielorównaniowych:

-> modele proste (można szacować każde równanie osobno)

-> modele rekurencyjne (szacowanie w pewnej kolejności)

-> modele o równaniach współzależnych

Zjawiska (zmienne) występujące w modelu możemy podzielić na:

- zmienne endogeniczne – zjawiska wyjaśnianie (opisywane) przez model

- zmienne egzogeniczne – zjawiska nie wyjaśniane przez model, służące do badania zmiennych endogenicznych

Zmienne endogeniczne i egzogeniczne możemy podzielić na:

- zmienne z opóźnieniami czasowymi

- zmienne bez opóźnień czasowych

Zmienne występujące w modelu można podzielić na:

- zmienne z góry ustalone – zmienne egzogeniczne bez opóźnień czasowych i opóźnione w czasie oraz zmienne endogeniczne opóźnione w czasie,

- zmienne łącznie współzależne – zmienne endogeniczne bez opóźnień czasowych

Postać ogólna modelu wielorównaniowego:

gdzie:

Y - zmienne łącznie współzależne

Z - zmienne z góry ustalone

Zmienne występujące w modelu numerujemy:

- zmienne Å‚Ä…cznie współzależne – i = 1 …. m

- zmienne z góry ustalone – j = 1 …. k

Model wielorównaniowy można przedstawić w postaci strukturalnej (zapis macierzowy) oraz w postaci zredukowanej (zmienne endogeniczne nieopóźnione w czasie wyrażone wyłącznie za pomocą zmiennych z góry ustalonych)

Postać strukturalna:

YB + ZΓ = E

gdzie:

Y – macierz zmiennych endogenicznych o wymiarach (1 x m)

B – macierz parametrów stojących przy zmiennych endogenicznych bez opóźnień czasowych (m x m)

Z – macierz zmiennych z góry ustalonych (1 x k)

Γ – macierz parametrów stojących przy zmiennych z góry ustalonych (k x m)

Postać zredukowana:

Y = ZΠ + v

gdzie:

Π – macierz parametrów postaci zredukowanej (k x m)

v – macierz odchyleń losowych postaci zredukowanej (1 x m)

7.Modele ekonometryczne liniowe ze względu na parametry. Nieliniowe modele ekonometryczne. Metody linearyzacji modeli nieliniowych.

Model może być liniowy ze względu na parametry, natomiast nieliniowy ze względu na zmienne. Jeśli parametry nie są liniowe, model można poddać linearyzacji.

Zasada jest taka: Sprowadzamy model do postaci liniowej ze względu na parametry, następnie szacujemy i odwracamy znów do pierwotnej postaci.

Metody linearyzacji:

– zastosować logarytm naturalny

6. Prognozowanie za pomocÄ… modeli ekonometrycznych. Prognozy ex post i ex ante.

Metody matematyczno-statystyczne oparte na modelach ekonometrycznych:

1. Jednorównaniowe modele ekonometryczne:

• Klasyczne modele trendu
• Adaptacyjne modele trendu
• Modele przyczynowo-opisowe
• Modele autoregresyjne

1. Wielorównaniowe modele ekonometryczne:

• Modele proste
• Modele rekurencyjne
• Modele o równaniach współzależnych

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Żeby móc prognozować trzeba zbudować model ekonometryczny. Mamy pięć etapów budowy modelu:

· specyfikacja modelu, który obejmuje określenie zmiennych objaśnianych i objaśniających oraz postaci analitycznej modelu (model liniowy o nieliniowy);

· zbieranie informacji statystycznych;

· estymacja modelu, czyli szacowanie parametrów modelu ekonometrycznego;

· weryfikacja modelu;

· wykorzystanie modelu do prognozowania

- musi mieć istotne parametry;

- musi mieć odpowiednio wysoki stopień dopasowania modelu (dopasowanie modelu do danych empirycznych);

- nie występuje autokorelacja składnika losowego, a wariancja jest stała;

- parametry modelu majÄ… sezonowÄ… interpretacjÄ™ ekonomicznÄ….

Podstawowe założenia teorii predykcji:

· znany jest oszacowany model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie się zmiennej, dla której budujemy prognozę;

· struktura opisywanych przez model zjawisk jest stabilna w czasie (nie zmienia się postać analityczna modelu, nie występują zmiany parametrów strukturalnych modelu oraz struktura powiązań przyczynowych jest stała w czasie → nie zmieni się zestaw przyczyn);

· znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym;

· rozkład składnika losowego nie ulega zmianom w czasie (jest stały);

· dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza obszar zmienności zmiennych objaśniających obserwowanych w próbie

`x ± S(x) - obszar zmienności

jeżeli zmienne objaśniające przekraczają ten obszar to mamy do czynienia z modelem trendu.

Zasady predykcji jest to reguła pozwalająca na wyznaczenie najlepszego w danych warunkach przybliżenia przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej. Zasada predykcji określa sposób postępowania do budowy prognozy na podstawie modelu ekonometrycznego. Mamy dwie zasady predykcji: zasadę predykcji nieobciążonej oraz zasadę predykcji według największego prawdopodobieństwa.

Zasada predykcji nieobciążone polega na tym, że prognozę wyznacza się na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej w okresie prognozowanym T.

t - dotyczy okresu próby

T - dotyczy okresu poza próbÄ… (T = n+1, n+2, …, n+h)

E(η_T) = 0

Tę zasadę stosuje się gdy proces predykcji jest powtarzalny, ponieważ wtedy popełniane błędy dodatnie i ujemne równoważą się tak, że proces predykcji ani nie zawyża ani nie zaniża przyszłych realizacji zmiennej prognozowanej.

Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa polega na wyznaczeniu prognozy na poziomie równym modalnej (dominancie) rozkładu zmiennej prognozowanej.

y_Tp = M_T(Y)

Trzeba znać rozkład zmiennej prognozowanej i wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmienna skokową to prognozą jest taka wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji w okresie T. Jeżeli zmienna jest ciągła to prognoza jest taka wartość zmiennej, której odpowiada maksimum funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

Obie zasady dają te same wyniki (prognozy), gdy rozkład zmiennej prognozowanej jest co najmniej symetryczny.

Niezależnie od zasady, którą przyjmiemy można mówić o dwóch rodzajach predykcji:

· punktowej

Polega na wyznaczeniu konkretnej wartości prognozy.

· przedziałowej

Polega na wyznaczeniu pewnego przedziału liczbowego, któremu można przypisać odpowiednio wysokie prawdopodobieństwo, że rzeczywista realizacja zmiennej prognozowanej znajdzie się w tym przedziale.

P{y_Tp Î I_p} = 1 - α

Aby wyznaczyć prognozę przedziałową trzeba znać rozkład zmiennej prognozowanej. Czyni się założenie, że rozkład zmiennej prognozowanej jest normalny.

W przypadku predykcji przedziałowej bierze się pod uwagę dwie rzeczy:

· z góry przyjęte prawdopodobieństwo 1-α

· długość przedziału liczbowego I_p.

Zależność między długością przedziału a wysokością prawdopodobieństwa jest odwrotna. Sytuację najbardziej korzystną mamy wtedy, gdy dla ustalonej długości przedziału mamy wyższe prawdopodobieństwo 1-α lub dla ustalonego prawdopodobieństwa 1-α przedział I_p jest krótszy.

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI SEZONOWOÅšCI

Wahania sezonowe są to wahania powtarzające się w sposób regularny lub prawie regularny w kolejnych okresach kalendarzowych (np. zbiory płodów rolnych, skup mleka).

Okres wahań wynosi rok - wahania o cyklu rocznym.

Podstawą wahań są podstawowe czynniki sezonowe:

· długość dnia i nocy,

· wielkość opadów,

· wysokość temperatury.

Pośrednie czynniki sezonowe są konsekwencją czynników podstawowych. Oprócz tych czynników występują czynniki związane z pewnymi ustaleniami, normami (np. związane z płatnościami).

Mierniki dokładności predykcji:

· ex ante

Mierniki ex ante to mierniki, które podają spodziewany rząd odchyleń rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej od prognoz; mierniki te oblicza się przed realizacją.

· ex post

Mierniki ex post podają wielkość rzeczywistego odchylenia wartości zmiennych prognozowanych od prognoz; mierniki te oblicza się po zrealizowaniu.

5. Zagadnienie współliniowości w modelu ekonometrycznym, jego wykrywanie i usuwanie.

Jeżeli nie zostały spełnione założenia numeryczne MNK czyli:

1. rz(X) = k + 1 czyli rząd macierzy X (liczba liniowo niezależnych kolumn) równa się liczbie parametrów strukturalnych

2. k+1 < T czyli liczba szacowanych parametrów musi być mniejsza od liczby obserwacji

wówczas występuje współliniowość  zmiennych objaśniających tzn. szeregi reprezentujące zmienne objaśniające są nadmierne skorelowane.

Dokładna współliniowość pojawia się, gdy kolumny macierzy X sa liniowo zależne. W takim przypadku  rząd (X) < K + 1 a macierz X X jest macierzą osobliwą. Jej odwrócenie jest niewykonalne a tym samym niemożliwe jest policzenie estymatora M N K

Współczynnik korelacji wielorakiej

Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarÄ… siÅ‚y zwiÄ…zku liniowego zmiennej objaÅ›nianej Y ze zmiennymi objaÅ›niajÄ…cymi X1, X2 …, Xk.

2. Klasyczny model regresji liniowej jednej i wielu zmiennych – założenia, estymacja parametrów modelu: punktowa i przedziałowa. Estymatory metody najmniejszych kwadratów i ich własności.

Estymacja parametrów:

• punktowa - grupa metod statystycznych pozwalajÄ…cych na jednoznaczne wyznaczenie wartoÅ›ci liczbowej parametru
• przedziaÅ‚owa - grupa metod statycznych sÅ‚użących do wyznaczenia przedziaÅ‚u liczbowego szacowanego parametru

1. Czym jest ekonometria. Model ekonometryczny. Cele i metody ekonometrii. Model ekonomiczny, a model ekonometryczny. Ekonometria a statystyka matematyczna i ekonomia. Testowanie teorii ekonomicznych.

“Ekonometria jest naukÄ… o metodach badania iloÅ›ciowych zależnoÅ›ci wystÄ™pujÄ…cych miÄ™dzy zjawiskami ekonomicznymi. Metody badawcze ekonometrii to metody statystyczne i matematyczne przystosowane do badaÅ„ ekonomicznych.”

“Opisowy model ekonometryczny jest równaniem (lub ukÅ‚adem równaÅ„), który w sposób przybliżony przedstawia zasadnicze powiÄ…zania iloÅ›ciowe wystÄ™pujÄ…ce miÄ™dzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi.”

Model ekonometryczny jest sformalizowanym opisem badanego fragmentu rzeczywistości ekonomicznej.

Modelem ekonometrycznym w klasycznym pojęciu nie jest model, który obok opisu rzeczywistości pozwala na wybór optymalnej decyzji.

Testowanie hipotez o istnieniu związków pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi oraz ich kierunku i rozmiarze odbywa się za pomocą wyliczania różnych współczynników ekonometrycznych i wnioskowaniu na ich podstawie.

Ekonomia - nauka społeczna analizująca procesy rynkowe takie produkcja, dystrybucję oraz konsumpcję dóbr.

Podwójna metoda najmniejszych kwadratów

Podwójna metoda najmniejszych kwadratów służy do oszacowania parametrów równań modeli o równaniach współzależnych zarówno jednoznacznie jak i niejednoznacznie identyfikowalnych. Parametry każdego równania szacuje się oddzielnie.

Idea PMNK polega na tym, że zmienne Å‚Ä…cznie współzależne Y₁, Y₂ … Y_h wystÄ™pujÄ…ce w danym równaniu w roli zmiennych objaÅ›niajÄ…cych wyraża siÄ™ przez zmienne z góry ustalone modelu Z₁ … Z_k
co jest równoznaczne z wyznaczeniem postaci zredukowanej.

Pośrednia metoda najmniejszych kwadratów

Pośrednia metoda najmniejszych kwadratów ma zastosowanie do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie identyfikowalnych. Metooda te może być także stosowana do szacowania parametrów pojedyńczych równań identyfikowalnych wchodzących w skład modelu o równaniach współzależnych. Idea PMNK polega na wykorzystaniu ocen parametrów postaci zredukowanej do uzyskania ocen parametrów.

Jak należy postąpować?

1) Model sprowadza siÄ™ do postaci zredukowanej Y = MZ + v

2) Parametry każdego równania zredukowanego szacuje się oddzielnie, zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów i wzorem p_i = (X^TX)^-1 X^T y_i

gdzie:

p_i - wektor ocen parametrów i-tego równania postaci zredukowanej

y_i - wektor obserwacji zmiennej łącznie współzależnej pełniącej rolę zmiennej objaśnianej w szacowanym równaniu

3) Aby dostać Oceny parametrów postaci strukturalnej należy rozwiązać układ równań:

BP = -r

gdzie:

P - macierz ocen parametrów postaci zredukowanej

B - macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych bez opóźnień czasowych

r- macierz parametrów przy zmiennych z góry ustalonych

Należy przyrównywać kolejno elementy i-tego wiersza macierzy BP i i-tego wiersza macierzy -r.

Identyfikowalność modeli o równaniach współzależnych

Przed przystąpieniem do szacowania parametrów modeli o równaniach wspołzależnych należy zbadać identyfikowalność poszczególnych równań, Jeśli równanie jest identyfikowalne to można oszacować jego parametry. Jeśli równanie nie jest identyfikowalne to nie można oszacować jego parametrów. Cały model o równaniach współzależnych jest identyfikowalny, jeśli wszystkie jego równania są identyfikowalne (ze względu na parametry modelu - ujęcie klasyczne).

TWIERDZENIE IDENTYFIKOWALNOÅšCI

Warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, aby i-te równanie wchodzące w skład modelu o m równaniach współzależnych było identyfikowalne jest by macierz Ai parametrów znajdujących się przy zmiennych, które są w modelu a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana, była rzędu m-1.

Niech ki oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w modelu, a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana. Jeśli ki=m-1 to równanie jest jednoznacznie identyfikowalne. Jeśli ki > m-1 to równanie jest niejednoznacznie identyfikowalne. Jeśli ki<m-1 to równanie nie jest identyfikowalne. Rozróżnienie to jest istotne z punktu widzenia metody szacowania parametrów modelu o równaniach współzależnych.